# Фрактальность в свете трех кризисов оснований математики

М. Ю. Морозов

## Фрактальность в свете трех кризисов оснований математики

М. Ю. Морозов

В статье раскрывается мысль, что концепция фрактальности несет в себе в концентрированном виде проблемы, которые не были решены в результате исторического развития математики. Рассматривается вопрос о необходимости поиска единого основания для математической науки; в качестве такого основания предлагается диалектическая философская традиция. Обосновывается мысль о совпадении логики фрактальности с диалектикой и теорией познания математики, понятой как прикладная диалектическая логика. В результате прохождения через кризисные этапы фундаментальные проблемы математики не «снимаются», а элиминируются из научного дискурса, однако сохраняют свое негативное действие в определениях фрагментарности в современной науке, широко использующей математический аппарат. Решение этих проблем представляется возможным через понимание математики как частичной науки, движущейся к своему понятию, которое выступает конечным результатом, что выводит математику за свою собственную границу.

Ключевые слова: фрактальность, математика, кризис оснований, диалектика, непрерывное и дискретное, логика, теория познания.


Фрагментарность современного мира стала общей чертой в его многообразных определениях. Фрагментарность коллективов и индивидов[1], атомизированность общества, разрывы коммуникативных, экономических, причинно-следственных и прочих связей, что выражаются емкой категорией die Verkehrsformen, клиповость мышления[2] — лишь малая толика того, как фрагментарность проявляет себя на эмпирическом уровне. Развернувшееся наступление новых вирусных инфекций, которое заперло в своих квартирах многие миллионы людей, оторвав их не только от общества, но и от семьи и от самих себя, — пиковое и наиболее явное изображение такой фрагментарной логики. Рассыпающийся на фрагменты мир в сознании и вне его должен быть осмыслен и тем самым собран, связан — ведь целостность является как основанием, так и целью деятельного «функционирования» человека, а равно и атрибутом его[3]. Г. В. Лобастов с полным правом поэтому пишет о том, что личность удерживает собой смысловой каркас бытия[4]. Вопрос об общем основании многообразных явлений должен быть поставлен теоретическим сознанием — но фрагментарность представлена и в нем, ведь «нельзя жить в обществе и быть свободным от него».

Фрагментарность в сфере теории узаконена сегодня принципом плюрализма. Плюрализм этот заявляет равнозначность и желательность самых многоразличных мнений, ведь принято считать, что «эвристический потенциал» гораздо выше в системе с большим разнообразием. Творите, мол, теоретики, самые разные концепты и модели, придумывайте «полезные фикции», а уж насколько они полезны — решит конкурентная борьба. Чья «фикция» адекватнее схватывает объективную реальность — тот и прав. Остается добавить — все как в живой природе, ведь и человек, по существу, животное, хоть и высокоразвитое.

Это, однако, только половина истины. Ее абстрактная, говоря словами Гегеля, сторона. А абстрактная половинка — односторонняя, ущербная, убогая — истинной, по Гегелю, быть никак не может. Заслоняет она собой всю полноту и богатство «картины мира» из-за того, что чрезмерно распухает (überschwengliches, как писал И. Дицген). Истина же всегда конкретна, «едина в многообразии». Истинно ли, что человек — «животное», т. е. биологическое существо? Да, разумеется, это ближайшая предпосылка его существования, снятая, однако, в форме движения культуры и культурой. Хотя, стоит добавить для поклонников «нелинейного» взгляда на историю, на некоторых этапах развития этой культуры биологическое (животное) существование человека становится не только предпосылкой, но и вполне себе целью. Вот только по своей сущности человек — отнюдь не биологическое существо, а всецело, исключительно социальное, общественное. Эту-то сущность не умеет (не хочет? не должна?) схватить современная гуманитарная наука. И не только гуманитарная! Потому-то и природа несет на себе печать тех определений, которые наиболее явно выступают наружу под давлением господствующего принципа наличного человеческого бытия. Это не в природе вовсе господствует исключительно «конкурентная борьба», а в человеческом обществе. А присмотреться к природе внимательнее — так окажется, что наравне с конкуренцией не менее выгодной эволюционной стратегией является и партнерство, и альтруизм[5]. Природа, как отмечал[6] еще Д. Лукач, есть, помимо прочего, гносеологическая категория, и взгляд на нее зависит поэтому от той теоретико-познавательной позиции, которая принята в обществе[7].

Потому ссылка на «природность» конкурентной борьбы идей ничего оправдать и доказать не может: она исходит из того же основания, откуда и идеи, а именно — из человеческой предметно-практической деятельности. И от характера этой деятельности, от принципа, движущего эту деятельность, зависит и характер, принцип, который утверждают сами идеи. Плюрализм же, который на поверхности выступает либеральным демократизмом, оказывается лишь схемой для утверждения стихии, в которой конкурентная борьба есть форма проявления всеобщей необходимости. Проявления ее «природным» образом[8] — через случайность, анархию; речь, конечно, идет о стихии рынка. И стихия эта тут же оборачивается своим-иным, — тоталитарным диктатом. В сфере теории это видно очень хорошо: смеешь претендовать на единство основания своей теории? Упоминаешь истину как достойную познания цель? Недоволен разноголосицей высказываемых мнений и тем, что их уравнивают с научным знанием? Подобная позиция, при всей толерантности научного сообщества, не встречает сегодня сочувствия. Но проблемы, вынуждающие к поиску единого основания для науки в целом, и особенно для такой важной науки, как математика, не исчезают только лишь от того, что их не считают за проблемы.

Раскол математики — знаменитый кризис оснований, разразившийся в конце XIX века, — сказался на судьбе этой науки особенно сильно и явно. А. В. Титов весьма справедливо отмечает: «В настоящее время математика сталкивается с новыми для нее проблемами, как в фундаментальной области, так и в области ее приложений. С одной стороны, границы математики и ее приложений невероятно расширились, с другой — зачастую теряется связь между различными ее разделами, то есть математика утрачивает свое единство, ускользает основа, на которой достигается общность ее “частей” и интересов. Ставится вопрос о разработке новых оснований математики. Возникают даже мнения о необходимости «новой математики». В то же время объективным является осознание ограниченности возможностей математики в тех или иных областях ее приложений. Это приводит к возникновению ряда несвязанных, а порой и слабо обоснованных методов решения прикладных задач»[9]. Постмодернист, задающий тон современному теоретическому самосознанию, торжествовал бы от этих слов. Утрачивается единство? Прекрасно! Ведь «Единое не есть», — подсказывает А. Бадью вслед за Лаканом и Делезом. Ускользает основа? Просто замечательно! Необходимо создать новую математику — такую, какую потребуется, лишь бы избежать «репрессивности истины». А иногда — в наивном заблуждении — и в форме поисков этой самой истины. Например, в стремлении как можно точнее «подражать природе», выразить ее на языке геометрии.

В часто цитируемом отрывке из «Фрактальной геометрии природы» Б. Мандельброт риторически вопрошает: почему геометрию считали холодной и сухой? И делает свое знаменитое «открытие»: потому что горы — не конусы, а береговые линии — не линии вовсе! В самом деле, «книга природы написана на языке математики», но не всякой математики, а именно его — Мандельброта — фрактальной геометрии. Неискушенный читатель с готовностью доверяется красноречивому автору и охотно начинает верить в то, что у природы «на самом деле фрактальное лицо». Вот только это «открытие» для людей, знакомых с основаниями математики, новым назвать никак нельзя: «В природе нет тел, имеющих правильно геометрические формы. Огораживая участки земли, изготовляя гладкие доски, различные сосуды, выкапывая рвы, сооружая здания, укрепления и т. п., т. е. изготовляя предметы достаточно правильной (приблизительно правильной) формы, люди сопоставляли их и находили в них общее — форму, отвлеченную от качественных особенностей сравниваемых тел»[10]. В. Н. Молодший за десять лет до Мандельброта демонстрирует понимание куда более глубокое, исследуя геометрические понятия как формы деятельности общественного человека, развитие которых обусловлено развитием этой деятельности, предметно-преобразовательной практики, развитием потребностей человека в определенном историческом обществе. Это не удивительно, ведь еще за сто лет до выхода «Очерков по философским вопросам математики» Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» очерчивает принципиальные моменты возникновения математических понятий; именно на его позицию и опирается Молодший.

Пример с фрактальной геометрией здесь вовсе не случаен и выступает далеко не в роли «мальчика для битья». Напротив, мы считаем, что понятие фрактальности есть ключевое для понимания всей глубины кризиса оснований современной математики; понятие это, как мы покажем ниже, сосредоточило в себе все нерешенные проблемы различных периодов развития этой науки. Говорить об этом сегодня приходится тем громче, чем меньше кризис оснований осознается как кризис — это типичное проявление отношения современного общества к кризисам (не только научным) в математике выражается ярче прочих. М. Клайн в книге с говорящим названием «Математика. Утрата определенности»[11] пишет отнюдь не с сочувствием, что с момента разделения математики на чистую и прикладную внимание к противоречиям в фундаменте этой науки сильно поугасло. В большинстве разделов прикладной математики они вовсе не играют большой роли, провоцируя вполне прагматическое отношение и вызывая коллективные иллюзии, получившие название конвенционализма, а в математике фундаментальной — в математической логике и теории категорий — выработаны способы эти парадоксы обойти, ускользнуть от них. Кризис все еще не пройден, но он затух, — пишет Клайн. Значит, можно закрыть глаза на «ухищрения каверзных педантов»[12] от математики и спокойно заниматься созданием «полезных фикций»?

Вовсе нет! Затухание кризиса — как в экономике, так и в научном познании — явление весьма обманчивое. Механизм такого «затухания» на деле оказывается «механизмом» оттягиваемой резинки: чем дольше и сильнее ее оттягивать, тем больнее будет потом удар, ведь никакой материал не прочен абсолютно. А именно на абсолютную прочность и надеются сторонники не замечать проблемные ситуации вовсе: но прочность эта уже сегодня трещит по швам. Неумение осмыслить науку в своем основании и тем более отрицание всякого основания и приводит к ограниченности возможностей, к отрыву теории от практики, к требованию создать новую математику и т. п. Это только в рассудочной логике теория никак с практикой не связана; разумная же логика ставит вопрос о поиске точки тождества противоположностей.

Об окончательно совершившемся раздвоении логики на математическую и диалектическую прекрасно пишет И. Лемешко, указывая также общественно-исторические причины такого разрыва[13]. Важно, что основной проблемой, следующей из игнорирования математиками логики диалектической, является подмена изучения всеобщего позицией изучения особенного. Именно этот подход в «решении» проблем парадоксов теории множеств предлагал Цермело: рассматривать только те множества, которые к классическим парадоксам не ведут. Тем самым нарушалось изначальное намерение Г. Кантора, который «стремился развить теорию множеств во всей общности, как теорию, относящуюся к любым множествам; названная ограничительная тенденция была для него совершенно чуждой»[14]. Развить же теорию во всей общности, как блестяще показал еще И. Кант, невозможно без того, чтобы не наткнуться на антиномии. Совсем иное дело — как их трактовать. Клайн в восьмой главе своей книги наглядно показывает, что основной упор математиков начала XIX на логическую совместимость (непротиворечивость) используемых утверждений, а не на их истинность и привел к появлению работ Кантора.

Нам представляется, что доказывать стремление науки к познанию именно всеобщих закономерностей здесь не требуется. Вопрос о единых основаниях математики стоит давно. Причем дело здесь идет далеко не только о наборе аксиом, которые позволят связать в единое целое наличное состояние математики, а и о принципах, основаниях, позволяющих осмыслить весь процесс развития математического знания в его противоречивости. И Титов, и Лемешко таким принципом предлагают взять принцип гегелевской Логики с его важнейшей особенностью — совпадением логического и исторического. А. Ф. Лосев в фундаментальном труде «Хаос и структура»[15] приводит великолепный анализ диалектических оснований математики, который может и должен быть использован в осмыслении поставленной задачи. Однако, оставаясь в строго философском поле рассмотрения проблем развития математического учения, Лосев слишком мало обращает внимание на «изучение фактов» — реальное историческое развитие, т. е. на собственно историческую сторону реального развития математики как деятельности общественного человека. Построение общей теории такого развития должно иметь объективные основания, укорененные в самой практической жизни индивидов; таким основанием, по нашему мнению, являются упомянутые выше связи — формы общения (die Verkehrsformen).

Что понимать под формой общения — вопрос сам по себе нетривиальный[16] и требует отдельного обсуждения. Можно признать, что без специального пояснения связь проблем оснований математики и форм «общественного общения»[17] может или показаться внешней, надуманной, или не улавливаться вовсе. Краткое пояснение заключается в гипотезе, что разрабатываемая нами концепция фрактальности совпадает по существу с диалектикой и теорией познания математики как теоретической науки. Гегель называл последние «прикладными логиками» в отличие от единственной чистой Логики, которая не погружена в эмпирический материал. Примерами таких прикладных логик, в которых авторы прямо руководствовались принципом совпадения диалектики, логики и теории познания своего предмета, являются на сегодняшний день «Капитал» К. Маркса, психологическая теория Л. С. Выготского — А. Р. Лурии — А. Н. Леонтьева и «Диалектика эстетического процесса» А. С. Канарского. Фрактальность, как показано нами ранее[18], является движением разрывности форм общения и мерой такого разрыва. Теоретическая математика тем самым получает принципиальное разрешение проблемы, которая более других мучает представителей данной науки: как математические абстракции оказываются настолько эффективно связаны с миром? Как не имеющая, будто бы, ничего общего с объективной реальностью, «невозможная» геометрия «предсказывает» квантовые и космологические события? Ответ становится возможным, если проследить генезис математики в тесной связи с формами общения (вернее, их разрывом и деформацией) вплоть до понятия математики (т. е. понимания сути дела). В известном анекдотическом противопоставлении математиков философам первые отличаются от вторых тем, что «знают, о чем говорят и чем занимаются, и могут это доказать». В реальности же понятия математики и ее предмета у математиков нет: «Ход развития математического знания выводит ее за пределы рассудочной логики. Это может означать, что математика как понятие, являясь продуктом саморефлексии духа, сама в процессе саморазвития составляет свой конечный продукт, то есть понятие математики составляет конечный результат развития математики. Предмет же математики следует определить, так как рассматривать ее как науку о числах в привычном понимании этого слова уже нельзя»[19]. Понятие математикой себя как результата развития самой этой науки позволяет осмыслить ее в тотальности целостной науки о человеке — определить напряженные связи с общественной потребностью, которые, пусть и фрагментарно, уже осознаются и сейчас. Речь о математической статистике и теории вероятностей, о математике как основе программирования и многом другом; но прежде всего — о математике как науке о формальной стороне деятельности, о форме общения в собственном виде.

Это нетрудно понять, во-первых, потому что наука о содержательной стороне общения целостного человека — теоретическая эстетика — уже разработана А. С. Канарским. Эстетика понята им как логика противоречивого движения чувственного процесса человека. Сторона, связанная с проблемами самих форм общения, остается пока еще неразработанной: проблема превращенной и чистой формы, проблема целостности таких форм, проблема производства самой формы общения. Здесь же следует вспомнить активную роль, какую форме придавал Аристотель: материя есть лишь возможность формы. «Для возникновения движения, — пишет В. Ф. Асмус, — нет необходимости, чтобы высшая «форма» оказывала на движение предметов активное непосредственное воздействие. Достаточно, чтобы высшая «форма» просто существовала сама по себе, и «материя», уже в силу одного этого существования, необходимо должна была испытывать стремление к реализации «формы» и потребность в этом[20]. Конечно, Аристотель здесь пишет о высшей форме — Боге. Однако любое истинное понятие, как чистая форма вещи, выступает и идеалом этой вещи (как конкретное тождество Ideelle и Ideale), а значит, вызывает стремление к реализации этой формы.

Во-вторых, принцип математики — «одно», по Гегелю, — подразумевает внешнюю бытию сторону, границу, которая безразлична самому бытию: ««Одно» и пустота суть для-себя-бытие, наивысшее качественное внутри-себя-бытие, опустившееся до полной внешности; непосредственность или бытие «одного», ввиду того, что оно отрицание всякого инобытия, положено так, чтобы не быть уже определимым и изменчивым; для его абсолютной неподатливости всякое определение, многообразие, всякая связь остается, следовательно, всецело внешним соотношением»[21]. Это внешнее соотношение, неизменчивость предметов является предпосылкой для математики вообще: именно поэтому проблема движения составляет для математики такую трудную проблему. Изменчивость по своей природе может быть схвачена здесь лишь формально; и рассудочная логика, на которую и может только опираться математика по самой своей природе, производит разрыв любой формы — например, формы тождества[22]. Там, где математика выходит на ограниченность рассудочной логики, она видит свою собственную ограниченность как отдельной науки.

«Одно» порождает из себя «Многое», а вместе с ним — противоречие непрерывности и дискретности, которые, по Гегелю, являются первыми определениями количества. Но это же противоречие единого (или Одного, das Eins) и многого — самая сердцевина противоречия фрактала, которая и обнажается в анализе функции Вейерштрасса. Непрерывна эта функция только потому, что она вся состоит из разрывов. Причем, как будет показано в следующих публикациях, логика фрактальности тесно связана с классификацией точек разрыва в математике. Разрыв здесь — перерыв постепенности, изменение характера (направления, интенсивности, качества) движения, поэтому каждая «точка» (по существу — бифуркация) как бы торчит «иголками» во все стороны, не позволяя получить производную. Получается парадокс: ни одной точки нет, т. е. мы должны бы наблюдать чистое Ничто, однако график функции имеет вполне определенную форму. Это фрактальная форма в чистом виде — и неспроста фрактал возникает из проблемы определения границы между берегом и морем или трактуется как граница между двумя состояниями системы: это есть предельное в своей чистоте формальное выражение диалектического характера границы, которая есть и не-есть одновременно.

Фрактал определяют как множество. Но множество, согласно канторовой теории, есть «совокупность элементов», однако из внимательного анализа функции Вейерштрасса видно, что никаких «элементов» в ней нет. Это характернейший для фрактала момент: он есть «чистое» множество, не включающее в себя «одни»[23]; или же он есть Единое, но не переходящее во Многое. Поэтому начало теории фрактального должно выступать в форме непрерывности, которая несет в себе противоречие Единого и Многого в снятом виде. Непрерывность в диалектической логике есть «простое, равное себе соотношение с собой, не прерываемое никакой границей и никаким исключением, но она не непосредственное единство, а единство для-себя-сущих «одних»»[24]. Но так как фрактал и есть, с одной стороны, сама граница, а с другой — либо Одно, либо Многое, т. е. исключение их единства, тождества, то он есть движение от непрерывности (как формы тождества) к разрыву. Это особенно важно подчеркнуть, потому что фрактал высвечивает внешность принципов Единого и Многого друг другу, что характерно для количественных категорий, которые имеют своим принципом «одно». Г. Гегель отмечает этот момент: «Уже ранее было показано, что число — неподходящая форма для выражения понятийных определений, но менее всего подходит она для выражения определений самого понятия; число, поскольку оно имеет принципом «одно», обращает считаемое в совершенно обособленные и совершенно безразличные друг к другу [предметы]»[25]. Это обезразличивание является необходимо вырастающим из самой практики человека по освоению количественной стороны объективной реальности и должно быть подробно рассмотрено в исследовании проблемы измерения.

Можно сказать, что фрактал и есть предел возможностей формального (математического) языка в схватывании действительности в ее противоречивом единстве. Здесь фиксируется еще один парадокс: фрактал есть математическое понятие, которое показывает ограниченность математики как науки, как бы «прорывает» ее предметное поле и выходит за него[26], поскольку не фрактал уже имеет своим принципом «одно», как прочие категории сферы количества, а, напротив, Одно и Многое имеют своим принципом фрактальность: «Границы суть принципы того, что они ограничивают, подобному тому, как единица, например, как сотая, есть граница, но также и элемент целой сотни»[27]. Единое, «вырастающее» на фрактальном основании, есть абстрактная тотальность. Многое, «вырастающее» на том же основании, есть чистая множественность. Фрактальность разрывает живую связь диалектического тождества (органической тотальности).

Разрыв этой живой связи — необходимая черта рассудка, его цель и работа. Однако рассудочность есть лишь момент в движении мышления; разрыв этот тогда только не обессмысливает познание, когда удерживается в рамках целого. Таким целым выступает образ материи как субстанции, существенной стороной которого является сторона количественная, которая и схватывается противоречием непрерывного и дискретного. В. А. Босенко, с опорой на гегелевскую логику и положения Энгельса о превращении материи, осмысливает всеобщее движение как тождество дискретного и непрерывного: «В этом плане по отношению к материи можно сказать, что она без скачков потому, что состоит сплошь из скачков (Энгельс), что она есть сплошное превращение, сплошной скачок, сплошное становление (как бы не успевающее стать чем-либо определенным и моментально превращающееся в другое). Разумеется, что под «тождеством» непрерывности и прерывности вовсе не подразумевается какое-то уравнивание того и другого и т. п. Речь идет об ином. Возрастающая интенсивность превращения форм, осуществляемая через прерыв, скачок, начинает ясно демонстрировать, что движение в любой данный момент есть превращение, своего рода сплошной непрерывный прерыв, т. е. как бы прерыв в непрерывной форме»[28]. Это тождество, взаимопереход прерывности и непрерывности есть способ существования материи как таковой, который с формальной стороны и схватывается категорией фрактального; но лишь с формальной стороны, и это необходимо строго учитывать.

О выходе математики за свои пределы пишет и Титов: «Эволюцию математики как раскрытие внутреннего содержания и формальной логики, приводящее к появлению ее новых типов, можно рассматривать как процесс выхода имеющихся форм за собственные границы, характеризуемый в диалектике Гегеля как «снятие» (Aufheben). Это такое развитие, при котором старая форма не исчезает, но сохраняется включением в новую, которая помимо нее включает в себя и ее отрицание, объединяя их в новом единстве как моменты этого единства»[29]. Пример такого развития он видит в возникновении неевклидовых геометрий, которые стали возможны при отказе от пятого постулата.

Фрактальность в этом отношении гораздо радикальнее: она «деконструирует», как мы видим, не только пятый постулат, а вообще все постулаты Евклида. Точка, по Аристотелю, — единичная сущность с положением в пространстве; единица — сущность без положения в пространстве. Фрактальность разрушает обе[30]: «Концепция фрактала игнорирует «защитный пояс» классических геометрических концепций (конкретные исчисления, связанные с евклидианской программой фрактальной концепцией, даже не критикуются), заменяя «жесткое ядро» — тривиальные первые принципы — категории геометрии. Этим самым задается метафизика фрактала — влиятельная метафизика фрактальной концепции»[31].

Концепция фрактальности в концентрированном виде несет в себе все нерешенные проблемы оснований математики. Представляется небесполезным пунктирно наметить основные контуры, по которым могло бы направляться большое логико-историческое исследование, результатом имеющее понятие математики, представленное в определениях фрактального, выходящее за свои пределы в область бытия.

Первый кризис оснований математики связан с двумя проблемами — несоизмеримости и бесконечности, которые обнаружили уже пифагорейцы. Нетрудно увидеть, что это, по существу, одна и та же проблема — несоизмеримость диагонали квадрата с его стороной поражает и пугает пифагорейцев как раз тем ускользающим в бесконечность от любой общей меры остатком, который выражается в «дурной» бесконечности иррациональной дроби. Выражается это в доказательстве пифагорейцев явным противоречием: если диагональ соизмерима со стороной, то четное число равняется нечетному. Число пифагорейцы, как известно, считали сущностью всякой вещи, ее «душой» — и отсутствие подходящего для диагонали квадрата числа подрывало самое основание философии школы Пифагора. Число есть сочетание предела и беспредельного[32] (потому первое истинное число у них есть троица), но фрактал и есть разрыв этого сочетания. «Бездушность» получающегося объекта, его иррациональный характер на более позднем этапе развития математики превратится в то, что назовут «математическими монстрами»; точка начала этого сюжета — именно в проблеме несоизмеримости. Знаменитое канторовское «вижу, но не верю!» вполне могло быть сказано за тысячи лет до него Алкмеоном Кротонским или Филолаем.

Другим аспектом этой проблемы была проблема движения, которое, как уже отмечалось, невозможно схватить непротиворечиво, то есть средствами математики. Удивительно редко отмечается тот факт, что «Начала» Евклида, на которые веками ссылаются как на образец и эталон строгости, просто открещиваются от проблем, поставленных древнегреческими философами. В. Н. Молодший показывает, что автор «Начал» рассматривал их как некое предварительное, временное изложение геометрической науки, которое не свободно от ограничений и допущений (чтобы элиминировать из рассмотрения проблему движения и бесконечности) и которое по этой причине должно быть улучшено учеными будущего, что должны разрешить поставленные проблемы[33]. Эти проблемы, не будучи решенными и до сих пор[34], находят выражение в проблеме движения в определениях фрактального блуждания как движения без движения, без формы и без цели[35].

Период второго кризиса — конец XVII и весь XVIII век — оставил в наследство проблемы методологического характера: «Основные понятия и законы, установленные в одной математической теории часто переносились в новые области исследования совершенно формально, т. е. без обоснования»[36]. Основной проблемой этого периода Молодший считает господство метафизического способа мышления: большинство математиков той эпохи не признало и не разработало должным образом то новое, прогрессивное, что ими же самими было сделано в вопросах обоснования своей науки. Именно абсолютизирование традиционных, узких способов обоснования математических теорий и то, что математики держались за них, вызывало парадоксы, которые привели к кризису. Показателен комментарий Эйлера о споре Бернулли с Лейбницем (который, стоит отметить, владел передовыми достижениями науки о мышлении своего времени): Лейбниц утверждал, что правило дифференцирования ln x, установленное для x>0, не обязательно должно быть справедливым и для ln (–x). Эйлер решительно отклоняет этот аргумент: «Это возражение, если бы оно было верно, поколебало бы основное положение всего анализа, заключающееся, в основных чертах, в общности правил и операций, признаваемых справедливыми, какова бы ни была природа количеств, к которым они прилагаются»[37].

Причины господства метафизического способа мышления следует искать в особенностях предмета и методов исследований математики этого периода; и нет сомнений, что эти особенности напрямую зависят от уровня развития науки о мышлении. Этот момент отмечает Маркс в «Математических рукописях», в их исторической части, посвященной сравнению способов обоснования дифференциального исчисления Лейбницем, Ньютоном, Эйлером, Даламбером и Лагранжем. И он, и Ф. Энгельс в «Анти-Дюринге» подчеркивают, что реализовать верное само по себе требование обоснования каждой математической теории с точного истолкования ее основных понятий в условиях XVIII века было просто невозможно.

С фрактальностью это связано самым прямым образом: трактовка «по аналогии», некритическое перенесение положений фрактальной геометрии, часто оборачивающееся голой метафорой, метафизический способ мышления из-за неусвоенности исследователями передовых достижений науки о мышлении представлены во фрактальной проблематике самым наглядным образом.

Наконец, третий — и самый тяжелый — кризис оснований математики фрактальность встречает уже в собственной форме. Три вопроса, к которым сводил задачи математики Д. Гильберт — полнота, непротиворечивость и разрешимость — есть по существу ключевые проблемы концепции фрактала. Вопрос о полноте — pleroma, тотальность — вызывает к жизни категорию фрактальности как предельной противоположности этой полноты. Вопрос о полноте совсем неспроста выражается в парадоксе Рассела, далеко не случайно принимает форму проблемы самореференции или рекурсии; поэтому же во фрактале одним из ключевых (и самых доступных представлению) свойств является самоподобие. Проблема континуума, проблема тотальности и самореференции — это грани одного ключевого вопроса, который берет начало задолго до публикации Кантором своих основных работ; он сквозной линией проходит от представлений древних греков о Космосе, через мысль Платона, Аристотеля и Плотина о Едином, через труды М. Экхарта, Д. Скотта, Ф. Аквинского, А. Кентерберийского, Н. Кузанца, учение Спинозы о субстанции и, наконец, предельное выражение получает в гегелевской категории тотальности, которая является основным принципом движения его системы. Разрешимость, связанная с работами К. Гёделя, и выросшая из этих работ кибернетика тесно связаны с алгоритмической природой образования фракталов. О непротиворечивости, которая для фрактала оказывается принципиально недостижимой, повторяться здесь представляется и вовсе излишним.

Движение фрактальности, ломающее форму тождества, обессмысливающее ее, которое развернуто нами в соответствующей статье[38], любопытно проиллюстрировать словами Рассела об аксиоме выбора, вокруг которой сломано немало копий: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает»[39]. Не будет преувеличением отнести эти слова и к самой фрактальности, и к математике в целом. Мышление, не умеющее войти в предмет по логике самого этого предмета, неизбежно утрачивает понимание. Мы убеждены, что обретение этого понимания — т. е. понятия — возможно на путях исследования, которое руководствуется принципом совпадения логического разворачивания предмета с его историческим развитием, основные узловые точки которого, в случае математики, представлены периодами наибольшего напряжения противоречий внутри данной науки — ее кризисами, которые требуют поэтому самого пристального и глубокого изучения.

### Список литературы

1. Асмус В. Ф. Метафизика Аристотеля // Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т. 1. ред. В. Ф. Асмус. М.: Мысль, 1976. С. 25.


2. Босенко В. А. Всеобщая теория развития. Киев, 2001. С. 132.


3. Бурик М. Л. Человек и экономика в виртуализированном мире. Киев: Аграр Медіа Груп, 2016. 268 с.


4. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2005. С. 95.


5. Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Том 1. М.: Книга по требованию, 2016. С. 234.


6. Гегель Г. В. Ф. Наука логики: Том 3. М.: Книга по требованию, 2016. С. 48.


7. Гегель Г. В. Ф. Сочинения. Т. 9. Лекции по истории философии. Книга первая. М.: Партийное издательство, 1932. С. 189–192.


8. Гиренок Ф. И. Клиповое сознание. М.: Проспект, 2021. 256 с.


9. Загорский М. Категория «die Verkehrsformen» и практический материализм Текст: электронный // Журнал «Пропаганда»: Интернет портал. URL: http://propaganda-journal.net/10451.html (дата обращения: 10.07.2021).


10. Ильенков Э. В. Субстанция. Текст: электронный // Caute.ru: Интернет портал. URL: http://caute.ru/ilyenkov/texts/enc/substantia.html (дата обращения 11.07.2021).


11. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. 434 с.


12. Лемешко И. О логике критики оснований математики // Наш Ильенков: Учиться мыслить смолоду / под ред. В. Д. Пихоровича. М.: ЛЕНАНД, 2016. С. 64.


13. Лобастов Г. В. Философско-педагогические этюды. М.: Микрон-Принт, 2003. С. 8.


14. Лосев А. Ф. Хаос и структура / сост. А. А. Тахо-Годи и В. П. Троицкого, общ. ред. А. А. Тахо-Годи и В. П. Троицкого. М.: Мысль, 1997. 831 с.


15. Лукач Д. История и классовое сознание. Исследования по марксистской диалектике. М.: Логос-Альтера, 2003. 416 с.


16. Манин Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. М.: Изд-во МГУ, 1970. С. 113.


17. Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. С. 22.


18. Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М. «Просвещение», 1969. С. 153.


19. Семек М. Я. Две модели межсубъектности. Текст: электронный // Журнал «Пропаганда»: Интернет портал. URL: http://propaganda-journal.net/bibl/Siemek._Dve_modeli_mezhsubiektnosti.html (дата обращения: 10.07.2021).


20. Тарасенко В. В. Фрактальная семиотика: «слепые пятна», перипетии и узнавания. М.: ЛЕНАНД, 2020. 248 с.


21. Тарасенко В. В. Метафизика фрактала // Стили в математике: социокультурная философия математики / под ред. А. Г. Барабышева. СПб.: РХГИ, 1999. С. 421.


22. Титов А. В. Диалектика развития математики и математической логики // Революция и эволюция: модели развития в науке, культуре, обществе. 2019. No 1. С. 53.


23. Фридман В. С. Как социобиология сама себя отрицает [Электронный ресурс]. URL: http://spinoza.in/theory/kak-sotsiobiologiya-sama-sebya-otritsaet.html


24. Хазарзар (Смородинов) Р. Апории Зенона. Текст: электронный // Библиотека Руслана Хазарзара: Интернет портал. URL: http://khazarzar.skeptik.net/books/kh/aporia.htm (дата обращения: 14.04.2021).


25. Яновская С. А. Апории Зенона Элейского и современная наука // Философская энциклопедия. Т. 2. М.: Советская энциклопедия, 1962.


26. Robinson J. Doktrinen der Wirtschaftswissenschaft: eine Auseinandersetzung mit ihren Grundgedanken und Ideologien. München: C.H. Beck, 1965. P. 85.

1

Бурик М. Л. Человек и экономика в виртуализированном мире. Киев: Аграр Медіа Груп, 2016. 268 с.

2

Гиренок Ф. И. Клиповое сознание. М.: Проспект, 2021. 256 с.

3

Это показано Э. В. Ильенковым на всех структурных уровнях бытия, от психологии до космологии.

4

Лобастов Г. В. Философско-педагогические этюды. М.: Микрон-Принт, 2003. С. 8.

5

Фридман В. С. Как социобиология сама себя отрицает [Электронный ресурс]. URL: http://spinoza.in/theory/kak-sotsiobiologiya-sama-sebya-otritsaet.html

6

Лукач Д. История и классовое сознание. Исследования по марксистской диалектике. М.: Логос-Альтера, 2003. 416 с.

7

Та же участь настигает и математику. Ю. И. Манин отмечает влияние принципа наличного бытия и в ней: «Язык категорий (частично заменивший язык теории множеств. — М. М.) воплощает «социологический» подход к математическому объекту: группа или пространство рассматривается не как множество с внутренне присущей ему структурой, но как член сообщества себе подобных» См.: Манин Ю. И. Лекции по алгебраической геометрии. М.: Изд-во МГУ, 1970. С. 113.

8

Ведь на стадии разумного субъекта она проявляет себя в форме свободы.

9

Титов А. В. Диалектика развития математики и математической логики // Революция и эволюция: модели развития в науке, культуре, обществе. 2019. No 1. С. 53.

10

Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. С. 18.

11

Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. 434 с.

12

Так, Дж. Робинсон недвусмысленно отозвалась о советских экономистах, развивавших трудовую теорию стоимости Маркса. См.: Robinson J. Doktrinen der Wirtschaftswissenschaft: eine Auseinandersetzung mit ihren Grundgedanken und Ideologien. München: C. H. Beck, 1965. P. 85.

13

Лемешко И. О логике критики оснований математики // Наш Ильенков: Учиться мыслить смолоду / под ред. В. Д. Пихоровича. М.: ЛЕНАНД, 2016. С. 64.

14

Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М. Просвещение, 1969. С. 236.

15

Лосев А. Ф. Хаос и структура / сост. А. А. Тахо-Годи и В. П. Троицкого, общ. ред. А. А. Тахо-Годи и В. П. Троицкого. М.: Мысль, 1997. 831 с.

16

Загорский М. Категория «die Verkehrsformen» и практический материализм Текст: электронный // Журнал «Пропаганда»: Интернет портал. URL: http://propaganda-journal.net/10451.html (дата обращения: 10.07.2021).

17

С такой неизбежной тавтологией переводится на славянские языки категория die Verkehrsformen во избежание путаницы ее с вербальной коммуникацией. См.: Семек М. Я. Две модели межсубъектности. Текст: электронный // Журнал «Пропаганда»: Интернет портал. URL: http://propaganda-journal.net/bibl/Siemek._Dve_modeli_mezhsubiektnosti.html (дата обращения: 10.07.2021).

18

В статье «Противоречие непрерывности и дискретности как существенное определение фрактального», которая планируется к публикации в No 5 (2021) журнала «Проблемы современного образования» (Москва).

19

Титов А. В. Диалектика развития математики и математической логики // Революция и эволюция: модели развития в науке, культуре, обществе. 2019. No 1. С. 54.

20

Асмус В. Ф. Метафизика Аристотеля // Аристотель. Сочинения в четырех томах. Т. 1. ред. В. Ф. Асмус. М.: Мысль, 1976. С. 25.

21

Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Том 1. М.: Книга по требованию, 2016. С. 234.

22

См. указанную выше статью «Противоречие непрерывности и дискретности как существенное определение фрактального».

23

При этом он не есть чистое Ничто, пустое множество.

24

Гегель Г. В. Ф. Наука логики: Том 1. М.: Книга по требованию, 2016. С. 259.

25

Гегель Г. В. Ф. Наука логики: Том 3. М.: Книга по требованию, 2016. С. 48.

26

То же фиксирует Э. В. Ильенков для категории субстанции в философии: Ильенков Э. В. Субстанция. Текст: электронный // Caute.ru: Интернет портал. URL: http://caute.ru/ilyenkov/texts/enc/substantia.html (дата обращения 11.07.2021).

27

Гегель Г. В. Ф. Наука логики. Т. 1. М.: Книга по требованию, 2016. С. 190.

28

Босенко В. А. Всеобщая теория развития. Киев, 2001. С. 132.

29

Титов А. В. Диалектика развития математики и математической логики // Революция и эволюция: модели развития в науке, культуре, обществе. 2019. No 1. С. 53.

30

Говоря строже — всякую сущность вообще.

31

Тарасенко В. В. Метафизика фрактала // Стили в математике: социокультурная философия математики / под ред. А. Г. Барабышева. СПб.: РХГИ, 1999. С. 421.

32

Различные школы пифагорейцев трактовали принципы единицы и двоицы в связи с принципами предела и беспредельного по-разному. См.: Гегель Г. В. Ф. Сочинения. Т. 9. Лекции по истории философии. Книга первая. М.: Партийное издательство, 1932. С. 189–192.

33

Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М. Просвещение, 1969. С. 151–152.

34

См.: Яновская С. А. Апории Зенона Элейского и современная наука // Философская энциклопедия. Т. 2. М.: Советская энциклопедия, 1962. и Хазарзар (Смородинов) Р. Апории Зенона. Текст: электронный // Библиотека Руслана Хазарзара: Интернет портал. URL: http://khazarzar.skeptik.net/books/kh/aporia.htm (дата обращения: 14.04.2021).

35

Тарасенко В. В. Фрактальная семиотика: «слепые пятна», перипетии и узнавания. М.: ЛЕНАНД, 2020. 248 с.

36

Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М. «Просвещение», 1969. С. 153.

37

Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. С. 22.

38

См. указанную выше статью «Противоречие непрерывности и дискретности как существенное определение фрактального».

39

Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. 3-е изд. М.: МЦНМО, 2005. С. 95.