# Гегель и проблема математического понятия

М. Ю. Морозов

## Гегель и проблема математического понятия

М. Ю. Морозов.

Статья представляет собой размышление в направлении онтогносеологического обоснования математических понятий как деятельностных форм общественного человека и содержит критический анализ современного априоризма, претендующего на статус теоретической базы для понимания предмета математики и её категорий. Показано, что такой анализ невозможен без учёта достижений философии как науки о мышлении, особенно — без усвоения принципа тождества мышления и бытия как краеугольного для всякого познания. Обосновывается тезис о том, что попытки обоснования реальности математики, не удерживающие в составе своих представлений этот принцип, оказываются не способными провести монистическое построение теории и, несмотря на апелляцию к деятельностному подходу, остаются далёкими от тех результатов в диалектике как логике и теории познания, которые выработаны Гегелем и Марксом.

Ключевые слова: диалектика, математика, априорность, понятие, категория, деятельность, Гегель, Маркс, Ильенков.


Проблема фрактальности, которая составляет основной научный интерес автора этих строк, ставит перед своим исследователем многочисленные вопросы методологического и философского характера. Фрактал характерен тем, что он как никакая другая «вещь» даёт непосредственно зримую видимость понимания, будто бы являясь яркой иллюстрацией метода «остенсивного определения» понятий (Поппер) или демонстрацией работы декартовской интуиции, которая с предельной ясностью схватывает самоочевидное. Однако выяснить, что же фрактал собой представляет, в достаточной мере не удаётся исследователям до сих пор. Реален ли фрактал, понятие это или объект? С позиций единого пространства какой дисциплины его следует изучать, если мы придерживаемся принципа гомогенности как свойственного научному исследованию? Если нет — то как может быть реализована междисциплинарность его исследования, каким именно образом, не допускающим отступление от познавательных принципов, чтобы всестороннее изучение не превращалось в разноголосицу «один про Фому, другой про Ерёму», то есть в эклектику, а понятие не становилось превращённой формой — концептом, не наполнялось бы только за счет метафорических переносов, «жило» бы логическими (всеобщими и необходимыми), а не ассоциативными связями? Как возможна общая единая теория, которая объясняла бы, обнимала бы собой все многочисленные случаи проявления фрактальности? Нужна ли вообще такая теория? Да и наконец (но не в последнюю очередь), в чём состоит сама сущность фрактальности, которая является?

Не только успешное решение, но даже и самый подход к этим проблемам, чтобы это решение вообще существовало и было продуктивным, невозможны без серьёзной рефлексии теоретико-познавательных сюжетов, которые обширно представлены и глубоко проработаны в русле классической философии. Проблема обобщения, проблема монизма, проблема понятия — весь пласт необходимой для решения этих проблем философской культуры, без овладения которой на достаточном уровне сами исследования будут оставаться лишь некритическими описаниями непосредственно воспринимаемого, приходится поднимать прежде разговора о непосредственной проблематике постольку, поскольку и в научной среде на сегодняшний день отсутствует повсеместная строго теоретическая дисциплина ума. Вместо неё широкое распространение имеет «ползучий эмпиризм», который опирается на банальные положения «здравого смысла», делает их своими законами. Это, впрочем, не означает снобизма или ригоризма приверженцев позиций теоретической (диалектической) мысли, так как не означает абсолютной бесполезности такой работы в стихии «здравого смысла»: отнюдь, всякая наука проходит через этапы рассечения первоначально конкретного целого на его определения, и такая «работа разделения» может и должна быть признана высокой заслугой рассудка, его «бесконечной способностью», как выражался Гегель, критикуя своих оппонентов (прежде всего, конечно, Шеллинга) за недооценку этой ступени разумного познания. И в русле интересующего нас вопроса это означает необходимость диалога — единственной формы взаимодействия человека с человеком, которая является принципиальной альтернативой насилию — с представителями иных познавательных традиций (прежде всего, конечно, синергетики, в лоне которой написано немало интереснейших работ по фракталам), ведь наиболее ценно то размышление, которое продуктивно, которое производит новые смыслы. А новые смыслы производятся там, где имеет место выход за предел имеющихся в наличии, выход с позиций тождества, которое как принцип характеризует уже достигнутый объём знаний (использование которого в ответе на вопрос означает тавтологию), на позицию противоречия, которое обнаруживает приращение знания нового. Точка соприкосновения собеседников в диалоге должна быть найдена для того, чтобы понять, выходят они совместно на это противоречие или не выходят вовсе или оно содержится в позиции одной из сторон, которая «снимает» поэтому позицию оппонента. Это обстоятельство раскрывает поэтому то известное положение, что между спорящими находится не истина, но проблема. Достижение же истины возможно только там и тогда, где и когда она становится руководящим принципом движения мысли — тождеством бытия и мышления. Это требует обращения к основаниям противоположных позиций, к высвечиванию этих оснований и их логических пределов; чаще же дело сводится к тому, чтобы «нападать на противника и одерживать над ним верх там, где его нет» (Гегель).

Несложно увидеть, что одной из центральных проблем для исследователей фракталов является проблема реальности. Именно это их качество выступает на первый план в главном «сборнике прецедентов» — «Фрактальной геометрии природы» Б. Мандельброта, где он в широко известном и часто цитируемом введении рассуждает о том, что горы не являются конусами, а облака — сферами. В то же время фракталы трудно не увидеть в объектах реальной природы: тому, кто по какой-то причине сомневается во фрактальности формы берега Великобритании или кластера далёких галактики, предлагается обычно для пущей убедительности посмотреть на лист папоротника или кочан капусты брокколи. Но если оставить шутки в стороне и посмотреть в суть дела, то вскроется весьма существенная теоретико-познавательная проблема, связанная с отсутствием критического отношения к способам обоснования истинности математических понятий и статусом их реальности. При этом дело не ограничивается лишь фрактальной геометрией и имеет первостепенное значение для всей математической науки.

Может показаться, что проблемы эти — удел самой философии, а потому интересны лишь узким специалистам: применяют же сегодня математические методы в самых разных областях и без глубокой теоретической разработки, и применяют успешно, они дают ощутимые практические результаты[1]. Однако, не говоря уже о том, что наука не может ограничиваться разноголосицей мнений и по самой своей природе претендует на познание всеобщих закономерностей исследуемого предмета, углубление в универсально-логические проблемы математической науки показывает, что отсутствие проработанной единой гносеологической позиции оставляет исследователей блуждать по тупикам мышления, которые можно осветить лишь теоретико-познавательным «фонарём» ума, воспитанного на философской классике. Всякая наука испытывает наибольшие трудности именно при обращении к проблеме обоснования своих начал. И не только математика оказывается в этом положении: ведь, как известно, «в отличие от других архитекторов наука не только рисует воздушные замки, но и возводит отдельные жилые этажи здания, прежде чем заложить его фундамент» (Маркс). Частная наука способна поставить острые вопросы в своей области и даже вынуждена это делать на определенном этапе. Однако за решением их ей приходится обращаться к философии. Фундаментальные проблемы бесполезно решать вне масштаба категориально-всеобщего уровня: в науке возникают противоречия, которые эта конкретная наука не в состоянии осмыслить и разрешить, потому что не в состоянии возвести их до уровня и масштаба всеобщей категории противоречия со всеми вытекающими отсюда требованиями и следствиями теоретико-познавательного характера. Именно поэтому лишь философия способна обосновывать саму себя, свои принципы, из которых она исходит, а равно и начала других наук. Однако придание самых разных смыслов, неопределенное размывание их, господство представления проникает и в само современное научное сознание, а потому лишает и его возможности сориентироваться в способе исследования сложного предмета. Поэтому философия как духовно-интеллектуальный способ освоения реальности, выявляющий и осмысливающий отношения и связи действительности с мышлением, должна быть к таким представлениям очень внимательна.

Отдельные попытки теоретиков войти в контекст указанных проблем через наследие классической науки о мышлении должны быть поэтому оценены очень высоко. Однако и к ним нельзя относиться без «измерения» их эталоном высших достижений этой самой науки, «паролем на вход» в которую Э. В. Ильенков далеко не зря называл принцип тождества бытия и мышления.

В статье «Реальность математики» В. Я. Перминов формулирует дихотомию достаточно остро: или мы вслед за Л. Брауэром и К. Поппером должны согласиться с тем, что «натуральные числа суть произведение людей, продукт человеческого языка и человеческой мысли»[2], или вслед за Платоном признать, что математические объекты суть «отражение глубинных форм окружающего нас мира»[3]. Но в такой постановке остаются ещё вопросы методологического характера: как понимается само отражение и обязательно ли оно противоречит творческому процессу самого человека? Каков онтологический статус самих математических понятий и их предметов или, говоря иначе, в каком виде предмет математического знания существует в самом бытии и какой характер имеет их связь с их представленностью в идеальной форме? Это замечает и Перминов: «Остаётся неясным главный вопрос: если математические абстракции — отражение значимых сторон реальности, то что это за стороны и как может быть понято отражение реальности, проявляющееся в построении столь устойчивых, по своей сути, внеисторических понятийных систем»[4].

Поскольку проблема реальности заявлена в статье центральной, следует отдельно остановиться на изложенном в ней понимании категории реальности. Реалистическое понимание математики, которое защищает Перминов, имеет корни в реализме Пифагора и Платона, которые понимают математику как сущую саму по себе, до и вне всякого человеческого участия. Показателен в этом отношении диалог «Тимей», где Платон конструирует грандиозную космологическую картину, опровергая одного из своих главных оппонентов — Демокрита: «атомы» Платона представляют собой бестелесные правильные многогранники, в то время как атомы Демокрита — телесны (хотя Гегель и «поправляет» его, указывая, что атомы Демокрита суть мысли или принципы). Линия Аристотеля, который понимает числа и фигуры как абстракции[5], представляется поэтому автору статьи линией, которая приводит к представлению о «математических объектах» как лишь мысленных, существующих лишь в воображении. Это, однако, не так, ведь, как будет показано ниже, нить от Аристотеля тянется не только к Локку и Попперу, но и к Гегелю и Марксу. В представленном в статье историческом очерке развития реалистических идей на предмет математики несложно увидеть, что идеальное и реальное понимаются только как никогда не отождествляющиеся противоположности, упускается из виду проблема идеального, которую в собственных её определениях специально поставил и разрешил Э. В. Ильенков[6]. Разрешил её, как известно, на основе указанного выше принципа и с помощью понятия предметной деятельности. И что особенно интересно, апелляция к предметной деятельности есть и в рассматриваемой нами статье. Можно ли отождествить деятельностный подход Ильенкова и Перминова?

Нет, нельзя. Хотя на это будто бы есть основания. Реальность у Перминова определяется так: «В этом плане мы получаем общий подход к истолкованию понятия реальности. Мы должны признать, что практика является не только основой универсальных норм, но и основным индикатором реальности. Реально то, что выделено деятельностью и возведено на уровень интерсубъективности. Предметная структура мира реальна, ибо она выделена коллективной деятельностью. Предметные подразделения обладают высшей реальностью, ибо подтверждены всей совокупностью человеческой практики. Никакого другого критерия реальности у нас нет»[7]. Ильенков словно пишет о том же другими словами: «С природой как таковой люди вообще имеют дело лишь в той мере, в какой она так или иначе вовлечена в процесс общественного труда, превращена в материал, в средство, в условие активной человеческой деятельности. Даже звёздное небо, в котором человеческий труд реально пока ничего не меняет, становится предметом внимания и созерцания человека лишь там, где оно превращено обществом в средство ориентации во времени и пространстве, в “орудие” жизнедеятельности общественно-человеческого организма, в “орган” его тела, в его естественные часы, компас и календарь»[8]. Здесь, однако, ключевой момент в различении рассматриваемых позиций, который определяет дальнейшее направление теоретико-познавательной работы. Позиция Ильенкова — это материализм, который в качестве предпосылки берёт положение о существовании независимой от человека объективной реальности. Реальность, отметим, понимается не только как подтверждённое предметной деятельностью, но безусловно существующее до и вне всякого человека. Это, однако, не просто предпосылка, в которую материалисты верят, как религиозный человек верит в Бога. Это предпосылка, которая становится принципом исследования, который в исследовании необходимо последовательно провести, что значит — вывести богатство определений вещи, развернуть её, вещи, всеобщую форму исходя из неё самой: «Интересно, что на уровне предельной всеобщности всеобщее определение мышления находит своё выражение в той же самой формуле (гносеологической), что и определение всеобщей материи. В определении материи нельзя ничего сказать иного, кроме как указать в гносеологическом плане на то, что всё существующее — объективно, независимо от сознания. И никакие строения, структуры (атомы, масса, различные поля, плазма, элементарные частицы и т. п.) вещества, его физические, химические и т. п. свойства здесь ни при чём. Настаивать на включении их в определение материи — это всё равно, что низводить материю к некоторым (относительным, преходящим, временным) формам её существования или поручать таким формам выполнять не присущую им гносеологическую функцию. В своём саморазвитии материя доразвивается до такого уровня, что в состоянии поставить вопрос о том, что такое материя. И ответ может быть только один — это всё то, что выступает первичным по отношению к сознанию, определению. Чтобы не было путаницы, понятие материи следует довести, советовал В. И. Ленин, до понятия материализма, т. е. до гносеологического отношения сознания и бытия. Именно это гносеологическое отношение и заключено в определении материи. Точно так же во всеобщем определении сознания, мышления ничего иного невозможно сказать, кроме того, что это есть вторичное материи, её своё другое, производное, отражение, продукт и т. д.»[9]. Форма мышления ничего другого собой и не представляет, как эту собственную всеобщую форму вещи[10]:. Именно этот принцип и есть принцип тождества бытия и мышления, вопреки расхожим представлениям о нём, бытующим в научной литературе. И обоснование его — а значит, и обоснование объективной реальности, и обоснование материализма вообще — становится возможным лишь в том случае, когда показан генезис мыслительной способности и принимаемых ею форм из самой реальности, показана его необходимость. Ильенков и его ученики такой генезис показывают на всех масштабах бытия — от психологии до космологии[11]. Предпосылка, таким образом, оказывается обоснованной самим ходом исследования, она порождается им как своё собственное основание. Именно это гарантирует познавательную позицию от «коллективного солипсизма», который прячется в близкой по видимости формулировке Перминова.

Реальность, как мы видим, понимается им лишь как то, что конституировано самим субъектом. Деятельность, о которой в статье ведётся речь, оставляет проблему реальности внешнего мира незатронутой. Это типичный для неокантианского подхода пункт: «Сам символ выступает как априорная форма, конституирующая действительность. Задача философии в этом случае — выяснить правила символического функционирования в разных сферах культуры (язык, миф, искусство, религия, история, наука). Вопрос о реальности вне символических отношений во внимание не принимается»[12]:. Но если абстрагироваться от основного вопроса философии — о связи мышления с бытием — то всё, что выявлено и возведено на уровень интерсубъективности, может остаться лишь коллективным заблуждением, которое узаконено. Прививки от конвенционализма здесь ещё нет. Именно с этой стороны нужно читать и кажущееся тождественным ильенковской позиции положение автора: «Важно понять то обстоятельство, что только практика конституирует мир реальных предметов и структуру реальности в целом. Структура предметного мира выявляется в процессе деятельности, до актов познания и независимо от этих актов. С праксеологической точки зрения, предметная реальность первична перед познавательной деятельностью, и она никоим образом не может быть понята как порождаемая активностью сознания на основе данных чувственности, как это думал Кант. Выявление структуры предметного мира — не функция чувственного восприятия и не функция знания вообще, а исключительно функция деятельности. Знание принципиально предметно в том смысле, что оно начинается только там, где уже выделен его возможный предмет. Структура предметной реальности — первичная структура сознания, обладающая беспредпосылочностью и строгой интерсубъективностью»[13]. Но структура реальности не конституируется практикой, а отражается ею. Объективная (а не предметная!) реальность действительно предшествует познавательной деятельности, но сама эта деятельность здесь оказывается чем-то отдельным от практики. Так выявляется ли в практике структура мира или конституируется ею? В приведённом абзаце как будто присутствуют обе эти точки зрения, которые, вообще говоря, будучи взяты непосредственно, взаимно исключают друг друга.

Разрешить это противоречие возможно лишь на основе марксовского понимания практики, которое опирается на логику Гегеля. Практика как субстанция человеческого бытия имеет результатом не только материальный процесс, но и знание этого процесса: производит материальное и идеальное как его собственный необходимый момент, только в этом процессе и существующий. Подчеркнём: предмет деятельности, существующий в ней как предмет, представлен в деятельности, полагается практикой именно по этой причине и как определённая форма знания: как знание этого предмета. Конечно, «каково понятие, таков и труд», как замечает Гегель, и абстрактно-одностороннему взаимодействию с предметом соответствует и абстрактно-одностороннее представление о вещи. Но поэтому нельзя согласиться с утверждением Перминова, что «структура деятельности является вневременной и неизменной», так как направлена на оперирование твёрдыми телами: практика мало того что не представляет собой лишь оперирование твёрдыми телами, но ещё и всегда исторически-обусловлена, развивается от абстрактно-примитивных до конкретно-расчленённых форм. На этом факте — разделении труда — основано почти всё бытие человеческой истории. Практика, которая мыслится как имеющая неизменную структуру[14], впрочем, действительно существует, но является, вопреки представлению о ней, продуктом весьма долгого исторического развития и появляется лишь на высокой ступени разделения труда; этот вопрос напрямую связан с превращением человека в «машиноподобного» производителя товаров, а его труда — в однородный абстрактный труд. Это показывает и несостоятельность положения о том, что категориальная «структура реальности в силу своей необходимости для деятельностной ориентации субъекта сразу же возводится на уровень нормативной структуры, относящейся к объекту вообще». Это процесс совершается далеко не «сразу», а протекает в исторически-определённых, изменчивых, развивающихся формах, которые определяются наличным способом отношения человека к природе и к другому человеку[15]:. Можно вспомнить по этому поводу хотя бы указание Маркса на историю промышленности, которая является раскрытой книгой человеческой психологии.

Идеальное есть «всеобщая схема субъективной деятельности, творчески преобразующей природу, но одновременно и всеобщая схема изменения любого естественно-природного и социально-исторического материала, в котором эта деятельность выполняется и объективными требованиями которого она всегда связана»[16]. Именно изменение, так как ближайшей предпосылкой мышления является не природа сама по себе, а изменение природы человеком. И эти всеобщие «схемы», то есть формы мышления и бытия — одни и те же, без всякой двоякости. Игнорирование принципа тождества мышления и бытия и ведёт к непоследовательности при допуске «онтологических категорий»: «Во-первых, они безусловно априорны, независимы от эмпирических подразделений, от характера объектов деятельности. Во-вторых, они безусловно реальны. В абсолютно хаотическом мире, где не было бы регулярных причинных связей, определяющих возможность действия, идея причинности вообще не могла бы возникнуть. Категориальные принципы — это не обобщения опыта, а идеализации, мотивированные деятельностной ориентацией субъекта. Важно то, что они фиксируют структуру реальности, значимую для действия, определяющую саму возможность действия. Принцип причинности, таким образом, не обобщение опыта, а лишь идеал реальности, её проект, максимально благоприятный для деятельности. Априорность категориальных принципов, то есть их универсальность и необходимость для сознания, не противоречат тому факту, что они являются вместе с тем и отражением реальности в ее наиболее существенных моментах. Это понятно в плане генезиса сознания: человеческое сознание, вписываясь в структуру реальности, с самого начала выделяет характеристики реальности, существенные с точки зрения деятельности, и возводит их в конститутивные принципы всякой реальности и в нормы мышления»[17]. С этим можно было бы почти согласиться, но дьявол, как и всегда, прячется в деталях: если категории «безусловно независимы от характера объектов деятельности», то какое содержание эти категории отражают? Разве предметная деятельность, её содержание и форма не определены внешним предметом? Как сознание «вписывается в структуру реальности», как оно «с самого начала выделяет характеристики реальности» и что полагает существенным, если оно безусловно абстрагируется от всякой эмпирической определенности? Что, наконец, представляет собой генезис сознания? Это далеко не так «понятно», чтобы можно было отделаться от этого фразой.

Категории действительно «фиксируют структуру реальности, значимую для действия, определяющую саму возможность действия», но это не значит, что они суть «не обобщения опыта, а идеализации, мотивированные деятельностной ориентацией субъекта». Само это противопоставление несостоятельно: ведь идеализация и есть обобщение опыта, но обобщение весьма особого рода, обобщение, которого не знает эмпиризм, обобщение, о котором писали и Гегель, и Маркс, и Ильенков, и Давыдов: не абстрактно-всеобщее, а конкретно-всеобщее. Это последнее предполагает в основе дедукции то, что Маркс называл «практически истинной абстракцией», то есть абстракцией, полученной в самом бытии. Вне опыта никакой идеализации нет. Если мы будем достаточно последовательны и представим себе человека — субъекта познания — как лишённого всех органов чувств (чтобы строго исключить опыт в познании), то такой человек не сможет существовать даже физически. Всякое предметное действие предполагает наличие хотя бы некоторых органов чувств: можно обратиться к практике Загорского эксперимента. Мы не научим считать ребёнка, у которого нет зрения, слуха, вкуса, обоняния и осязания. Мир дан нам, хотим мы того или нет, в формах практической деятельности, но которые, в свою очередь, не могут существовать без чувственности. Невозможно соединить предметно-практическую, чувственную деятельность и отсутствие чувств внутри одной теоретической позиции. Но если не дойти до гегелевской мысли, то нельзя увидеть связь созерцания и мышления, которая через тождество бытия и мышления только и становится действительной.

А именно отсутствие этой связи и вынуждает автора делить человеческое сознание на пространство «универсальных онтологических представлений» и сферу «логико-теоретическую», которая служит для объединения чувственных определений, данных в опыте. Понимание деятельности не как «человеческой чувственной деятельности, практики» (Маркс), а только как деятельности, конституирующей предметную реальность в сознании (хотя это есть и необходимый момент практики, о которой пишет Маркс, но лишь момент), объясняет и разделение опыта и деятельности, которое представлено в другой статье Перминова: «Здесь необходимо провести ясное различие между практикой и опытом как гносеологическими понятиями, которое часто упускается из виду при их обыденном использовании. В самом широком плане практику мы должны понять как деятельность субъекта, изменяющую предметный мир, а опыт — как систему представлений о мире, полученную на основе чувственного восприятия. В понятийной картине мира опыту соответствует вся позитивная информация о мире, основанная в конечном итоге на актах чувственного восприятия явлений, а практике — универсальные нормы мышления, прежде всего категориальные и логические, порожденные деятельностной ориентацией мышления»[18]. Различение это не является удачным и аккуратным: практика в таком определении выходит за рамки гносеологии, и если вторая часть представляет собой выражение «понятийной картины мира», то о чём тогда толкует первая, если заявляется требование «провести ясное различие между практикой и опытом как гносеологическими понятиями»? Проблема исходит из смешения всеобщего понятия с особенным. Здесь не учитывается, что данность «информации» в чувственном восприятии только и становится возможной на основе практической деятельности и благодаря ей, но сама эта деятельность как деятельность по реальному изменению материального мира существует через чувства, опосредствована (а не опосредована!) ими. Активность практической позиции автором подчеркивается, но это вовсе не означает пассивности в процессе восприятия: всякое созерцание активно полагает свой предмет, является деятельностью воображения, выстраивает с помощью схемы (которая есть способность субъекта) образ предмета[19]. Кант здесь совершенно прав. Поэтому разделение на «эмпирическое понятие» и «категориальную онтологию» не является корректным в том виде, как его представляет автор: «Категории внеэмпиричны не потому, что они отражают лишь структуру самого сознания, а потому, что они отражают бытие лишь в тех характеристиках, которые выявляются деятельностью самой по себе, независимо от её предметного (эмпирического) содержания. Категории внеисторичны вследствие инвариантности структуры деятельности и единства деятельностной ориентации субъекта. В категориях мы раскрываем особую реальность, не выразимую в эмпирических понятиях»[20]. Структура самого сознания, её категориальный состав, которые удерживаются в единстве Я, вне-эмпиричны не потому, что они абсолютно противоположны чувственному, а потому, что они над-эмпиричны: всякое понятие содержит богатство определений в самом себе; эмпирия предстает не потусторонним иным для теории, а своим-иным, которое теория с необходимостью содержит в самой себе. Во всякой многообразной определённости чувственного понятие «остаётся у себя», как выражается Гегель. Без учёта этого диалектического отношения всеобщего и особенного мы получим лишь ту же абстрактную противоположность, что и в вопросе о реальности «онтологических категорий». Да, они реальны, представлены в самом бытии как способы связи вещей в универсальном взаимодействии, где всякая вещь определяет другую к особой форме её бытия, однако актуально, в своей «чистой форме», они существуют лишь в деятельности человека как идеальная форма этого действия. Идеальные формы не могут быть найдены непосредственно в реальном мире, они не связаны с ним как со своим «коррелятом». Это значит, что сам способ связи понятий и предметов, выстроенных по форме позитивистского соответствия вещи и термина (с помощью непосредственного указания на вещь), обрекает попытки понимания на провал, блуждание в «трёх соснах» цепочки «означаемое–означающее–смысл». Именно эта установка оставляет нас в неспособности увязать существование математического понятия в мысли и в реальности в одно и то же время, в одном и том же отношении. Получается абстрактное существование (можно даже назвать это «отражением») одной половинки в субъекте в виде «онтологической интуиции», способ появления которой остаётся сугубо тёмным, и столь же абстрактное существование второй половинки в бытии как «реального компонента» самой вещи, её внутренней фундаментальной структуры, что напоминает позицию А. Бадью, который рассматривает математику как формальную онтологию.

Фигура как фигура или число как число не существует в вещах самих по себе. Иллюзия эта возникает по той причине, что математика не знает, где искать свой предмет: как великолепно показывает Л. К. Науменко[21], внутри познания происходит смещение предмета науки (не только математики) с той особой области объективной реальности, которую она отражает, на свои собственные образы и понятия. В случае математики это означает забвение того гомогенного поля, в котором движется математическое познание: поля практической деятельности человека по освоению количественной стороны мира, в которой пространственная (количественная) определённость тел существует сама по себе. Иначе говоря, математика изучает не фигуры и числа, а способы определённой деятельности общественного человека: «Фигура есть совокупность условий, схема движения эталона в процессе оперирования — приравнивания, взаимовыражения количеств. Фигура есть схема деятельности, код, скрывающий в себе стратегию и тактику предметного действия, движения измерения. Схема движения только расшифровывает код. Она поэтому одинаково условна, будь она выражена наглядно или только символически, знаково. Суть дела заключается не в фигуре или числе, а в той реальности, которая осваивается с помощью зашифрованной в них деятельности»[22]. Это можно увидеть на примере понятия прямой, которое весьма верно определяется одной из пифагорейских школ через движение точки. Однако движется здесь не точка, а человек, по форме прямой или иной пространственной определённости организующий свою преобразовательную деятельность, своё движение по контуру внешней вещи. Прямая — то, что направляет деятельность человека, существует здесь лишь в образе цели, эталона, который может быть представлен в виде субъективного образа в голове человека или в виде, скажем, натянутой нитки (которая, в силу этого, так же идеальна, как и образ в голове), но реально бытующий лишь в форме самого акта предметной деятельности человека, вовсе не вещах самих по себе — здесь линия Маркса наследует линии Аристотеля. Отдельно от вещей прямая или единица не существует: с образом или ниткой эта форма (понятие) не отождествляется, так как она внеэмпирична в указанном выше смысле. Однако понятие выражается не только в движении символов (знаков, слов и т. д.), но и (прежде всего) в движении реальных вещей, в их способе бытия, который стал способом мышления человека, его собственной способностью («способность» есть не что иное, как «способ нести» вещь в своей субъективности). Математическое понятие — такая же субъективная способность, что отлично показывает Ильенков в анализе экспериментов со счётом, проведённых[23] А. Н. Леонтьевым . Отражение здесь совершается через деятельность, через собственное творение человеком категориальной формы посредством движения внутри самой предметной реальности.

То же относится и к разделению на «онтологическую» и «реальную» единицы. Положение об извлечении понятия числа из процесса счета представляется для Перминова наивным лишь потому, что им не прослеживается генезис понятия числа у человека. Во всеобщей форме этот генезис представлен Гегелем[24], в онтогенетической — Ильенковым и Давыдовым[25]. Счёт действительно предполагает категорию определённого количества, но сама эта категория возникает там, где качество вещи оказывается снятым, безразличным бытию вещи. И фило-, и онтогенетически происходит это не до-опыта, не вне-опыта, а вполне внутри определённого исторического опыта как процесс снятия определённых противоречий общественно-человеческого бытия, результатом которых и выступает понятие числа. Причём выступает в не вполне адекватной форме — первоначально лишь как «чувственное понятие» (движение вещей). Ему ещё предстоит доразвиться, обрести теоретическую форму (что происходит только в учении пифагорейцев), но уже после такого доразвития происходит то, что Маркс называет «оборачиванием метода»[26], и понятие, оказываясь положенным в собственной форме, которая, конечно, уже не содержит «ни грамма вещества», начинает определять себя собственной внутренней логикой возникшей предметной области знания. Разделение дискретности на «реальную» и «онтологическую» без понимания момента превращения в деятельности одного в другое оставляет нас в условиях антиномии: «Без реальной дискретности нет счета» — «Операция счета предполагает представление о мысленной единице, независимой от опыта». И то, и другое абстрактно верно. Но только проследив процесс, сам процесс идеализации, можно увидеть, что нечто, положенное в качестве «реальной единицы», которая «неоднородна, неустойчива, реальные «единицы» сливаются, разделяются, появляются и исчезают»[27], есть в то же время и всеобщая форма деятельности, которая по необходимости должна быть согласована с формой реальности и только потому стать формой мышления, логической формой.

Логика при этом не может оставаться в статусе «нормативности», на которую практика будто бы налагает универсальные ограничения. Это положение предполагает, что помимо практической определённости логика обладает неким «свободным бытием» внутренней сущности, которая лишь деформируется внешним воздействием — почти как внутренняя сущность психики у З. Фрейда и Ж. Пиаже. Это не так. Определённость (ограниченность), выявляемая в практике, есть определённость самих вещей, и практика же высвечивает их, вещей, логическую (идеальную, чистую) форму как их собственные пределы. Ограничение (определённость) здесь становится условием свободного мышления предмета (а значит, и действия с ним, и выхода за пределы ограниченности в этом действии), который больше не противостоит субъекту абстрактно («ноэтически»), а дан как момент определённости процесса деятельности, в котором вещь определяется её собственной сущностью, основанием, на котором она сама вырастает, её чистой формой, а сама эта чистая форма — знание о вещи — в свою очередь, определяется внешним предметом[28]. Но для этого требуется не только не отбрасывать анализ Канта, видя в нём лишь внутреннюю определённость сознания самого по себе (что делает неокантианство), а сделать шаг по направлению к Фихте (чтобы понять категории как сотворённые деятельностью самого субъекта, как его собственные способности), Гегелю (чтобы осознать это творение как присвоение логики самого бытия, из которого вырастает понятие) и Марксу (чтобы увидеть, как из абстрактной «деятельности вообще» вырастает чувственная предметная деятельность, структура которой вовсе не остаётся неизменной и не является вневременной).

### Список литературы

1. Аристотель. Сочинения. В четырех томах. Т. 1. М., 1976.


2. Босенко В. А. Всеобщая теория развития. Киев, 2001.


3. Гегель Г. В. Ф. Наука Логики: Том 1. М.: Книга по Требованию, 2016.


4. Ильенков Э. В. Абстрактное и конкретное: собр. соч. Т. 1. М.: Канон+ РООИ «Реабилитация», 2019.


5. Ильенков Э. В. Диалектика идеального // «Логос». 2009. No 1. С. 6–62.


6. Ильенков Э. В. Диалектическая логика: собр. соч. Т. 4. М.: Канон+ РООИ «Реабилитация», 2020.


7. Ильенков Э. В. Искусство и коммунистический идеал. М.: Искусство, 1984.


8. Ильенков Э. В. Школа должна учить мыслить! М.: Издательство Московского психолого-социального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2002.


9. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: «Мир», 1984.


10. Лобастов Г. В. Диалектика разумной формы и феноменология безумия. М.: «Русская панорама», 2012.


11. Лобастов Г. В. Идеальное. Образ. Знак. М.: «Русская панорама», 2017.


12. Лобастов Г. В. От космологии духа до психологии сознания (начала и концы философии Э. В. Ильенкова) // Вопросы философии. 2019. No 10. С. 142–153.


13. Лобастов Г. В. Философия Гегеля в интерпретации Ильина // Свободная мысль. 2009. No 4(1599). С. 169–182.


14. Маркс К. Математические рукописи. М.: Издательство «Наука», 1968.


15. Науменко Л. К. Монизм как принцип диалектической логики. Алма-Ата: Издательство «Наука» Казахской ССР, 1968.


16. Перминов В. Я. Априорность и реальность исходных представлений математики // Вестник Московского университета. Серия 7: Философия. 2010. No 4. С. 24–44.


17. Перминов В. Я. Реальность математики // Вопросы философии. 2012. No 2. С. 24–39.


18. Поппер К. Р. Объективное знание. Эволюционный подход. М., 2002.


19. Философия XX века. Учебное пособие. М.: ЦИНО общества «Знание» России, 1997.

1

М. Клайн, обсуждая современное состояние проблемы обоснования математических начал, отмечает, что кризис оснований хотя и не пройден, но он затух (Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984). Математики учатся обходить противоречия, перед которыми их ставит общая теория (создавая при этом новые), или просто не сомневаются в истинности ZFC аксиоматики, которая, с логической стороны, подменяет в обосновании всеобщее особенным и потому не может претендовать на статус единой теории. Общая установка современной науки на прагматизм метода и результатов позволяет не задаваться (до поры до времени) глубоко теоретическими вопросами.

2

Поппер К. Р. Объективное знание. Эволюционный подход. М., 2002. С. 159–160.

3

Перминов В. Я. Реальность математики // Вопросы философии. 2012. No 2. С. 25.

4

Там же.

5

«Геометр и исследователь чисел полагают отдельно то, что отдельно не существует» (Аристотель. Сочинения: в 4-х т., Т. 1. М., 1976. С. 326).

6

Ильенков Э. В. Диалектика идеального // «Логос». 2009. No 1. С. 6–62.

7

Перминов В. Я. Реальность математики // Вопросы философии. 2012. No 2. С. 30.

8

Ильенков Э. В. Диалектическая логика: собр. соч. Т. 4. М.: Канон+ РООИ «Реабилитация», 2020. С. 379.

9

Босенко В. А. Всеобщая теория развития. Киев, 2001. С. 318.

10

Лобастов Г. В. Философия Гегеля в интерпретации Ильина // Свободная мысль. 2009. No 4 (1599). С. 178.

11

Лобастов Г. В. От космологии духа до психологии сознания (начала и концы философии Э. В. Ильенкова) // Вопросы философии. 2019. No 10. С. 142–153.

12

Философия XX века: учебное пособие. М.: ЦИНО общества «Знание» России, 1997. С. 137.

13

Перминов В. Я. Реальность математики // Вопросы философии. 2012. No 2. С. 30.

14

Отдельно отметим, что единственная «структура», которая может быть понята как неизменно-внеисторическая форма человеческой деятельности, есть категориальная структура «Логики» Гегеля. Однако этот тезис требует широкой экспликации, которой здесь не место.

15

Это же относится и к положению о самоочевидности постулатов эвклидовой геометрии: «Почему цивилизованному ребенку не приходится «доказывать» (что, кроме всего прочего, и невозможно) тот «факт», что параллельные линии не пересекаются, сколько их ни продолжай в воображении? И почему, как отмечал Энгельс, эту аксиому невозможно втолковать взрослому бушмену даже с помощью самого пространного доказательства? Очень просто. Дело не в «физиологических» особенностях мозга европейца и бушмена, как старались представить дело апологеты расизма. Дело в том, что формы восприятия (то есть воображения) европейца с первых же дней его жизни активно организуются геометрически «правильными» формами «цивилизованной», «очеловеченной» природы — стенами комнат, улицами, архитектурой и пр., а формы восприятия и воображения бушмена — дикой природой джунглей с их фантастическими переплетениями лиан и ветвей. Бушмен, родившийся в Европе, также не будет нуждаться в доказательстве аксиом геометрии. Они для него будут столь же очевидными, как и для «белого». Физиологические различия рас и наций здесь абсолютно ни при чём… Негры в Америке становятся такими же прекрасными математиками, как и люди англосаксонской крови. Если это случается реже, чем с белыми, так физиология тут опять-таки ни при чём» (Ильенков Э. В. Искусство и коммунистический идеал. М.: Искусство, 1984. С. 260–261).

16

Ильенков Э. В. Диалектическая логика: собр. соч. Т. 4. М.: Канон+, 2020. С. 223.

17

Перминов В. Я. Реальность математики // Вопросы философии. 2012. No 2. С. 31.

18

Перминов В. Я. Априорность и реальность исходных представлений математики // Вестник Московского университета. Сер. 7: Философия. 2010. No 4. С. 25–26.

19

Лобастов Г. В. Идеальное. Образ. Знак. М.: «Русская панорама», 2017. С. 156-168; Ильенков Э. В. Искусство и коммунистический идеал. М.: Искусство, 1984. С. 224–277.

20

Перминов В. Я. Реальность математики // Вопросы философии. 2012. No 2. С. 31.

21

Науменко Л. К. Монизм как принцип диалектической логики. Алма-Ата: Издательство «Наука» Казахской ССР, 1968. С. 188–209.

22

Там же. С. 207.

23

Ильенков Э. В. Абстрактное и конкретное: собр. соч. Т. 1. М.: Канон+, 2019. С. 85–102.

24

Гегель Г. В. Ф. Наука Логики: Том 1. М.: Книга по Требованию. 2016.

25

Ильенков Э. В. Школа должна учить мыслить! М.: Издательство Московского психолого-социального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2002. С. 6-56.

26

Подробно этот процесс исследуется им в «Математических рукописях» (Маркс К. Математические рукописи. М.: Издательство «Наука», 1968).

27

Перминов В. Я. Реальность математики // Вопросы философии. 2012. No 2. С. 33.

28

Лобастов Г. В. Диалектика разумной формы и феноменология безумия. М.: Русская панорама, 2012. С. 133–149.